Hilbert Space, Orthogonality, Fourier Transformation

Hilbert Space : 일반적으로 우리가 사용하는 유클리디안 스페이스를 좀더 일반적인 영역까지 확장한 개념.

우선 우리가 사용하는 힐버트 스페이스는 무한차원의 벡터 스페이스를 의미한다. 이 힐버트 스페이스에서 두 벡터의 내적은 두 함수의 곱셈에 대한 적분으로 정의된다. 

힐버트 스페이스 상에서의 한 점(벡터)은 무한개의 원소를 갖고 있어 함수의 형태로 표현을 해야한다. 그렇기 때문에 두 벡터의 내적은 결국 두 함수의 곱셈에 대해 적분하여 모든 점들의 정보를 합한 것이 된다.

* 전문가의 제대로된 설명 *

Orthogonality : 직교성을 기하학적으로 이해하면 90도로 비틀어진 축이다. 그러나 이렇게 이해하면 무한 차원에서는 다소 헷갈릴 수 있다. 단순히 대수적으로 내적의 값이 0 이다라고 생각하면 편하다. 내적이 0 이라는 것은 두 축이 서로 영향을 주지 않는다라고 생각하면 된다.

만약 두 함수가 서로 직교한다는 것은 두 함수의 곱셈을 적분한 것이 0 이라는 것이고, 이것은 즉 두 함수가 전혀 다른 축상에 놓여 있어 서로 아무런 영향을 주지 않는다라고 보면 된다.

이와 동시에 내적이란 두 벡터간의 유사성을 측정하는 정도라고 생각할 수 있다.

이와 관련하여 cosine distance 또한 두 벡터의 거리를 측정하는 단위인데, 두 벡터의 내적의 정의를 이용하여 코사인 값을 구하여 측정한 거리이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cosine_similarity

Fourier Transformation : 푸리에 변환은 어떠한 파동형태의 신호가 주어졌을 떄 이것을 아주 작은 단위로 쪼갠 각 점을 각 차원으로 본 것이다. 아주 작은 단위로 쪼갰기 때문에 각 점은 무한개가 되고, 이는 즉 무한차원의 공간을 의미하게 된다. 그러면 어떠한 임의의 신호는 무한차원의 힐버트 스페이스 상의 한 점(하나의 백터)으로 나타내어질 수 있다.

(이 때 discrete fourier transformation은 유한개의 차원으로 하나의 파동을 유한개의 스페이스의 한점으로 나타낸 것 인듯)

이렇게 힐버트 스페이스상의 한 점으로 바뀐 파동을 기술하기 위해 힐버트 스페이스의 각 차원을 구해야 한다.

이것은 직교성을 이용해 하나의 축을 임의의 주기를 가진 cosine으로 놓고, 이것과 직교하는 다른 축을구하고, 그다음 축은 이미 정해진 두개의 코사인과 직교하는 축을 구하는 식으로 구해지는 듯 하다.

http://scieng.net/zero/view.php?id=tech&page=1&category=&sn=off&ss=on&sc=on&keyword=&select_arrange=subject&desc=desc&no=527